📘 शंकु (Cone)

परिचय (Introduction)

शंकु (Cone) एक महत्वपूर्ण त्रिविमीय (3D) ज्यामितीय आकृति है, जिसका उपयोग गणित, वास्तुकला, इंजीनियरिंग और दैनिक जीवन की कई वस्तुओं में होता है। यह आकृति एक वृत्ताकार आधार और एक शीर्ष (Vertex) द्वारा निर्मित होती है जो आधार से एक सीधी या तिरछी रेखा द्वारा जुड़ी होती है।

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✅ शंकु की परिभाषा (Definition of Cone)

शंकु वह त्रिविमीय आकृति है जिसकी एक गोलाकार आधार (circular base) होती है और उसका प्रत्येक बिंदु एक नियत बिंदु (शिखर या vertex) से जुड़ा होता है।

• आधार (Base): एक वृत्ताकार क्षेत्र

• ऊँचाई (Height, h): आधार से शीर्ष तक की लम्बवत दूरी

• तिरछी ऊँचाई (Slant Height, l): आधार की परिधि से शिखर तक की तिरछी दूरी

• त्रिज्या (Radius, r): आधार का केंद्र से किनारे तक का माप

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📌 शंकु के प्रमुख सूत्र (Important Formulas of Cone)

🔸 घुमावदार सतही क्षेत्रफल (Curved Surface Area, CSA):

$$CSA = \pi r l$$

🔸 कुल सतही क्षेत्रफल (Total Surface Area, TSA):

$$TSA = \pi r (l + r)$$

🔸 आयतन (Volume):

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

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📌 शंकु के प्रकार (Types of Cone)

1. सीधा शंकु (Right Circular Cone): आधार के केंद्र और शीर्ष को जोड़ने वाली रेखा लम्बवत होती है।

2. तिरछा शंकु (Oblique Cone): शीर्ष लम्बवत नहीं होता, बल्कि एक कोण बनाता है।

3. खोल (Hollow Cone): आंतरिक भाग खाली होता है, केवल सतही संरचना होती है।

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📌 शंकु के अनुप्रयोग (Applications of Cone)

• आइसक्रीम कोन, टोपी, फनल, रॉकेट की नोक आदि में

• इंजीनियरिंग डिजाइन, जैसे मेगाफोन, स्पीकर

• विज्ञान में, जैसे प्रकाश की किरणों का प्रक्षेपण

• मूर्तिकला एवं वास्तु में

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🧠 MCQ (बहुविकल्पीय प्रश्न) – शंकु पर आधारित

प्रश्न 1. शंकु के घुमावदार सतह का क्षेत्रफल क्या होता है?

A) $\pi r^2 h$
B) $\pi r l$
C) $2 \pi r h$
D) $\pi r (l + r)$
उत्तर: B) $\pi r l$

प्रश्न 2. शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र क्या है?

A) $\frac{1}{2} \pi r^2 h$
B) $\pi r^2 h$
C) $\frac{1}{3} \pi r^2 h$
D) $\pi r h^2$
उत्तर: C) $\frac{1}{3} \pi r^2 h$

प्रश्न 3. 3 सेमी त्रिज्या और 4 सेमी ऊँचाई वाले शंकु का आयतन क्या होगा? (

$\pi=3.14$)
A) 37.68 cm³
B) 28.26 cm³
C) 50.24 cm³
D) 25.12 cm³
उत्तर: A) 37.68 cm³
व्याख्या:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 3^2 \times 4 = 37.68 \text{ cm}^3$$

प्रश्न 4. यदि शंकु की ऊँचाई 5 cm और तिरछी ऊँचाई 13 cm है, तो त्रिज्या क्या होगी?

A) 12 cm
B) 5 cm
C) 13 cm
D) 10 cm
उत्तर: A) 12 cm
व्याख्या:

$$l^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow 13^2 = r^2 + 5^2 \Rightarrow r^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow r = 12 cm$$

प्रश्न 5. शंकु की कुल सतही क्षेत्रफल की इकाई क्या होगी?

A) cm
B) cm³
C) cm²
D) m
उत्तर: C) cm²

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📚 निष्कर्ष (Conclusion)

शंकु एक महत्वपूर्ण त्रिविमीय आकृति है जिसकी समझ गणित, विज्ञान और जीवन के कई क्षेत्रों में आवश्यक है। इसके सूत्र, संरचना और अनुप्रयोग छात्रों के लिए अत्यंत उपयोगी होते हैं। घुमावदार सतह, आयतन, और कुल सतह क्षेत्रफल जैसे गणनाओं में महारत पाना गणितीय दक्षता के लिए आवश्यक है।

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