रिक्त समुच्चय

📚 रिक्त समुच्चय (Empty Set) 

रिक्त समुच्चय (Empty Set) 

गणित में एक ऐसा समुच्चय होता है, जिसमें कोई भी तत्व मौजूद नहीं होता। इसे शून्य समुच्चय या शून्यवृत्त भी कहते हैं और इसे { } या φ (फाई) चिन्ह से दर्शाया जाता है। यह सभी गणितीय और तर्कशास्त्र की शाखाओं में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

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✅ रिक्त समुच्चय की परिभाषा

रिक्त समुच्चय वह समुच्चय होता है जिसमें कोई भी तत्व न हो।
प्रतीकात्मक रूप में: φ = {}
उदा:

उन प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय जो -5 से छोटे हैं ⇒ कोई प्राकृतिक संख्या नहीं, अतः यह समुच्चय रिक्त है।

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🔎 महत्वपूर्ण बातें

✅ रिक्त समुच्चय को हमेशा एक ही समुच्चय माना जाता है।
✅ हर समुच्चय का उपसमुच्चय रिक्त समुच्चय भी होता है।
✅ रिक्त समुच्चय का कोई तत्व नहीं होता, इसलिए इसे यूनिवर्सल सेट में सबसे छोटा समुच्चय कहा जाता है।
✅ दो रिक्त समुच्चयों में कोई अंतर नहीं होता; वे समान होते हैं।

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✅ रिक्त समुच्चय के उपयोग

🔹 सेट थ्योरी (Set Theory) में उपसमुच्चयों की गिनती करते समय।
🔹 गणितीय प्रमाणों (Proofs) में जब किसी स्थिति के न होने को दर्शाना हो।
🔹 समस्याओं को हल करने के लिए जहाँ कोई समाधान मौजूद न हो।

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✅ उदाहरण

1️⃣ समुच्चय A = {x: x > 0 और x < 0}

यहाँ कोई भी संख्या ऐसी नहीं है जो शून्य से बड़ी और छोटी दोनों हो सके, अतः A=φ।

2️⃣ समुच्चय B = {x: x एक प्राकृतिक संख्या है और x का वर्ग -1 है}

किसी भी प्राकृतिक संख्या का वर्ग -1 नहीं हो सकता, अतः B=φ।

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📝 5 MCQs (व्याख्या सहित)

1️⃣ प्रश्न: रिक्त समुच्चय का चिन्ह कौन-सा है?

A) {0}
B) φ
C) ∞
✅ सही उत्तर: B) φ
व्याख्या: रिक्त समुच्चय का मानक प्रतीक φ या {} है।

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2️⃣ प्रश्न: रिक्त समुच्चय में कितने तत्व होते हैं?

A) 1
B) कोई नहीं
C) 2
✅ सही उत्तर: B) कोई नहीं
व्याख्या: रिक्त समुच्चय में शून्य तत्व होते हैं।

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3️⃣ प्रश्न: क्या रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है?

A) हाँ
B) नहीं
✅ सही उत्तर: A) हाँ
व्याख्या: परिभाषा अनुसार रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।

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4️⃣ प्रश्न: { } और φ में क्या अंतर है?

A) दोनों अलग हैं
B) दोनों एक ही हैं
✅ सही उत्तर: B) दोनों एक ही हैं
व्याख्या: { } और φ दोनों रिक्त समुच्चय को दर्शाते हैं।

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5️⃣ प्रश्न: क्या {0} रिक्त समुच्चय है?

A) हाँ
B) नहीं
✅ सही उत्तर: B) नहीं
व्याख्या: {0} में 0 नामक एक तत्व है, अतः यह रिक्त नहीं।

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