बारम्बारता बहुभुज

📊 बारम्बारता बहुभुज (Frequency Polygon) 

परिचय (Introduction)

बारम्बारता बहुभुज आँकड़ों के दृश्यात्मक निरूपण (Graphical Representation) का एक महत्त्वपूर्ण साधन है। यह एक प्रकार की रेखाचित्र विधि है, जो विशेषकर संख्यात्मक आँकड़ों के वितरण को सरलता से दर्शाने के लिए प्रयोग में लाई जाती है।

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🧾 बारम्बारता बहुभुज क्या है?

बारम्बारता बहुभुज (Frequency Polygon) एक रेखा-चित्र है, जो वर्गों के मध्य बिंदुओं (Class Midpoints) को उनकी संबंधित बारम्बारताओं (Frequencies) से जोड़कर बनाया जाता है। यह रेखाएं एक बहुभुज का आकार बनाती हैं, जिससे आँकड़ों की प्रवृत्ति स्पष्ट हो जाती है।

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🧠 विशेषताएँ

• यह रेखीय आरेख होता है जो बारम्बारता वितरण को प्रदर्शित करता है।

• हर वर्ग का मध्य बिंदु (Class Mark) x-अक्ष पर तथा उसकी बारम्बारता y-अक्ष पर होती है।

• रेखाएं सभी बिंदुओं को जोड़ती हैं और आरंभ व अंत में बारम्बारता 0 वाले दो अतिरिक्त बिंदु लिए जाते हैं।

• यह तुलनात्मक अध्ययन के लिए उपयुक्त होता है।

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📚 बारम्बारता बहुभुज कैसे बनाएं?

चरण 1: वर्ग सीमा (Class Interval) निर्धारित करें।

चरण 2: प्रत्येक वर्ग का मध्य बिंदु (Class Mark) निकालें।

👉 सूत्र:

$$\text{Class Mark} = \frac{\text{Upper Limit + Lower Limit}}{2}$$

चरण 3: बारम्बारताओं को y-अक्ष पर दर्शाएं।

चरण 4: सभी बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़ें।

चरण 5: ग्राफ को प्रारंभ और अंत में बारम्बारता 0 से जोड़ें।

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🧮 उदाहरण सहित स्पष्टीकरण

मान लीजिए हमारे पास एक आँकड़ा वितरण इस प्रकार है:

वर्ग (Class Interval)	बारम्बारता (Frequency)
0 – 10	5
10 – 20	8
20 – 30	15
30 – 40	10
40 – 50	7

अब वर्गों के मध्य बिंदु:

वर्ग	Class Mark
0–10	5
10–20	15
20–30	25
30–40	35
40–50	45

इन बिंदुओं (x = Class Mark, y = Frequency) को जोड़ने पर जो चित्र बनता है, वही होता है बारम्बारता बहुभुज।

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📈 बारम्बारता बहुभुज बनाते समय ध्यान देने योग्य बातें

• सभी वर्गों के मध्य बिंदु ठीक से निकालना चाहिए।

• पहले और आखिरी बिंदु के आगे एक अतिरिक्त बिंदु (जहाँ बारम्बारता 0 हो) जोड़ना चाहिए ताकि बहुभुज पूर्ण हो।

• यदि दो या अधिक वितरणों की तुलना करनी हो, तो एक ही ग्राफ पर दो बहुभुज बन सकते हैं।

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📊 बारम्बारता बहुभुज बनाम बार चार्ट

तत्व	बारम्बारता बहुभुज	बार चार्ट
स्वरूप	रेखीय	स्तंभाकार (Columns)
तुलना	आसान	सीमित
डेटा निरूपण	सुस्पष्ट प्रवृत्ति दर्शाता है	श्रेणियाँ स्पष्ट दर्शाता है

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📝 MCQs

प्रश्न 1. बारम्बारता बहुभुज बनाने के लिए किस बिंदु का उपयोग किया जाता है?

A) वर्ग की निचली सीमा
B) वर्ग की ऊपरी सीमा
C) वर्ग का मध्य बिंदु
D) बारम्बारता का योग
उत्तर: C) वर्ग का मध्य बिंदु

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प्रश्न 2. बारम्बारता बहुभुज में कितने अक्ष होते हैं?

A) एक
B) दो
C) तीन
D) चार
उत्तर: B) दो

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प्रश्न 3. बहुभुज को पूर्ण करने के लिए किन बिंदुओं को जोड़ा जाता है?

A) शून्य बारम्बारता वाले
B) उच्चतम बारम्बारता वाले
C) सभी वर्ग के कोने
D) वर्ग की ऊपरी सीमाएं
उत्तर: A) शून्य बारम्बारता वाले

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प्रश्न 4. बारम्बारता बहुभुज किस प्रकार का चित्रण होता है?

A) वक्र चित्र
B) बिंदु चित्र
C) रेखा चित्र
D) स्तंभ चित्र
उत्तर: C) रेखा चित्र

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प्रश्न 5. बारम्बारता बहुभुज में डेटा को प्रदर्शित करने का सबसे उपयुक्त लाभ क्या है?

A) रंगीन होता है
B) श्रेणियाँ दर्शाता है
C) प्रवृत्ति स्पष्ट करता है
D) वर्गों का योग दिखाता है
उत्तर: C) प्रवृत्ति स्पष्ट करता है

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📘 निष्कर्ष

बारम्बारता बहुभुज आँकड़ों को दृश्य रूप में सरलता से समझने और तुलना करने का सशक्त साधन है। यह विद्यार्थियों, शोधकर्ताओं और अध्यापकों के लिए डेटा विश्लेषण का एक महत्त्वपूर्ण उपकरण है।

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