समुच्चय प्रतिछेद

📚 समुच्चय प्रतिछेद (Intersection of Sets)

परिचय (Introduction)

समुच्चय प्रतिछेद (Intersection of Sets) का अर्थ होता है दो या अधिक समुच्चयों में सामान्य तत्वों का समूह। यानी A और B नामक समुच्चयों का प्रतिछेद A ∩ B वह समुच्चय होगा जिसमें A और B दोनों में पाए जाने वाले समान तत्व शामिल होंगे। इसे प्रतीकात्मक रूप में A ∩ B लिखा जाता है।

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✅ समुच्चय प्रतिछेद की परिभाषा

यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो उनका प्रतिछेद A ∩ B वह समुच्चय होता है जिसमें वे तत्व शामिल होते हैं जो A और B दोनों में मौजूद होते हैं।
प्रतीकात्मक रूप में: A ∩ B = {x: x ∈ A और x ∈ B}

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🔎 उदाहरण

उदा 1:

A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
A ∩ B = {3, 4}
(3 और 4 ही दोनों में सामान्य हैं।)

उदा 2:

A = {a, e, i, o, u}
B = {a, i, u}
A ∩ B = {a, i, u}

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✅ समुच्चय प्रतिछेद के गुण

✔ संगमिता (Commutative Law): A ∩ B = B ∩ A
✔ संग्राहकता (Associative Law): A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
✔ पहचान तत्व (Identity Element): A ∩ U = A (U यूनिवर्सल समुच्चय)
✔ शून्य तत्व (Null Element): A ∩ φ = φ

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✅ वेन आरेख (Venn Diagram) द्वारा समझना

वेन आरेख में दो वृत्तों A और B के ओवरलैपिंग हिस्से (जहाँ दोनों वृत्त मिलते हैं) A ∩ B का प्रतिनिधित्व करता है। यही हिस्सा उन सामान्य तत्वों का समूह होता है।

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📝 5 MCQs (व्याख्या सहित)

1️⃣ प्रश्न: यदि A={1,2,3}, B={3,4,5}, तो A∩B क्या होगा?

A) {3}
B) {1,2}
C) {4,5}
✅ सही उत्तर: A) {3}
व्याख्या: A और B में केवल 3 सामान्य है।

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2️⃣ प्रश्न: A∩A बराबर होता है:

A) A
B) φ
C) U
✅ सही उत्तर: A) A
व्याख्या: किसी भी समुच्चय का स्वयं से प्रतिछेद वही समुच्चय होता है।

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3️⃣ प्रश्न: यदि A={a,b}, B={c,d}, तो A∩B क्या होगा?

A) {a, b, c, d}
B) φ
C) {b, c}
✅ सही उत्तर: B) φ
व्याख्या: दोनों में कोई भी सामान्य तत्व नहीं है, अतः प्रतिछेद शून्य समुच्चय होगा।

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4️⃣ प्रश्न: प्रतिछेद ऑपरेशन में क्या होता है?

A) सभी भिन्न तत्व शामिल होते हैं
B) केवल समान तत्व शामिल होते हैं
C) कोई तत्व नहीं शामिल होता
✅ सही उत्तर: B) केवल समान तत्व शामिल होते हैं
व्याख्या: प्रतिछेद में केवल दोनों समुच्चयों में सामान्य तत्व ही लिए जाते हैं।

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5️⃣ प्रश्न: यदि A={1,2,3}, B=φ, तो A∩B क्या होगा?

A) {1,2,3}
B) φ
C) {0}
✅ सही उत्तर: B) φ
व्याख्या: किसी भी समुच्चय और शून्य समुच्चय का प्रतिछेद हमेशा शून्य समुच्चय ही होगा।

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