अपरिमेय संख्याएँ

🔢 अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) गणित की उन महत्वपूर्ण संख्याओं में शामिल हैं, जो p/q के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q ≠ 0 हो। ये परिमेय संख्याओं के विपरीत होती हैं और असमाप्त (never-ending) तथा गैर-आवर्ती (non-repeating) दशमलव रूप में होती हैं। अपरिमेय संख्याएँ गणित की कई अवधारणाओं में अहम भूमिका निभाती हैं, जैसे जड़ (root) और वृत्त से जुड़ी गणनाएँ।

📌 अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा

अपरिमेय संख्याएँ वे वास्तविक संख्याएँ हैं जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हों। इनका दशमलव रूप अनंत होता है और उसमें कोई पैटर्न नहीं दोहराता।

🔎 अपरिमेय संख्याओं की विशेषताएँ

✅ इनका दशमलव रूप असमाप्त और गैर-आवर्ती होता है।
✅ इन्हें भिन्न (fraction) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।
✅ ये वास्तविक संख्याओं का ही हिस्सा हैं, लेकिन परिमेय संख्याओं से भिन्न होती हैं।
✅ इनके बीच भी अनगिनत संख्याएँ होती हैं।

📚 अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण

  • √2 = 1.4142135…
  • √3 = 1.7320508…
  • π (पाई) = 3.1415926…
  • e (नेपियर का नियतांक) = 2.7182818…

📏 अपरिमेय संख्याओं का दशमलव रूप

✅ असमाप्त (Infinite) – कभी समाप्त नहीं होता।
✅ गैर-आवर्ती (Non-repeating) – दशमलव के बाद कोई पैटर्न नहीं बनता।

🎯 अपरिमेय संख्याओं का महत्व

✅ त्रिकोणमिति (Trigonometry) और ज्यामिति (Geometry) में आवश्यक, जैसे पाई का प्रयोग वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल में।
✅ गणितीय विश्लेषण (Mathematical Analysis) और उन्नत गणना में अपरिहार्य।
✅ वास्तविक संख्याओं की पूरी समझ में मदद करती हैं।

🔢 अपरिमेय संख्याओं पर 5 MCQs

1. √5 किस प्रकार की संख्या है?

A) परिमेय
B) अपरिमेय
✅ उत्तर: B) अपरिमेय

2. π का दशमलव रूप कैसा होता है?

A) समाप्त
B) आवर्ती
C) असमाप्त और गैर-आवर्ती
✅ उत्तर: C) असमाप्त और गैर-आवर्ती

3. कौन-सी संख्या अपरिमेय है?

A) 2/5
B) 0.75
C) √7
✅ उत्तर: C) √7

4. क्या √9 अपरिमेय संख्या है?

A) हाँ
B) नहीं
✅ उत्तर: B) नहीं (√9=3, जो परिमेय है)

5. e (नेपियर नियतांक) किस प्रकार की संख्या है?

A) परिमेय
B) अपरिमेय
✅ उत्तर: B) अपरिमेय

🚀 निष्कर्ष

अपरिमेय संख्याएँ गणित में वास्तविक संख्याओं को समझने के लिए अनिवार्य हैं। ये हमें सिखाती हैं कि हर संख्या को p/q रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता और असमाप्त दशमलव भी महत्वपूर्ण गणितीय वास्तविकताओं का हिस्सा हैं। इनका ज्ञान गणित में गहराई तक जाने के लिए जरूरी है।


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