📘 माध्यिका (Median) 

🔍 माध्यिका क्या है?

माध्यिका आँकड़ों की केंद्रीय प्रवृत्ति (central tendency) को दर्शाने वाला एक महत्वपूर्ण मापक है। जब किसी आँकड़ा समूह को बढ़ते या घटते क्रम में सजाया जाता है, तो बीच का मान ही माध्यिका कहलाता है। यह उस बिंदु को दर्शाता है जहाँ आधे आँकड़े उससे छोटे और आधे उससे बड़े होते हैं।

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🧮 माध्यिका निकालने के तरीके

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1️⃣ अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए (Ungrouped Data)

जब कुल आँकड़ों की संख्या $n$ हो:

👉 यदि $n$ विषम (Odd) हो:

सूत्र:
Median = $(\frac{n+1}{2})^{th}$ term

👉 यदि $n$ सम (Even) हो:

सूत्र:
Median = $\frac{(\frac{n}{2})^{th} \text{term} + (\frac{n}{2} + 1)^{th} \text{term}}{2}$

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2️⃣ वर्गीकृत आँकड़ों के लिए (Grouped Data)

सूत्र:

$$\text{Median} = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - CF}{f} \right) \times h$$

जहाँ:

• $L$ = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा (Lower Boundary)

• $N$ = कुल बारंबारता का योग (Total Frequency)

• $CF$ = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता (Cumulative Frequency)

• $f$ = माध्यिका वर्ग की बारंबारता (Frequency of Median Class)

• $h$ = वर्ग की चौड़ाई (Class Width)

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📊 उदाहरण:

वर्ग (Class Interval)	बारंबारता (f)
0–10	5
10–20	8
20–30	12
30–40	20
40–50	10

👉 कुल बारंबारता $N = 5 + 8 + 12 + 20 + 10 = 55$
👉 $\frac{N}{2} = \frac{55}{2} = 27.5$

संचयी बारंबारता:

• 0–10 = 5

• 10–20 = 13

• 20–30 = 25

• 30–40 = 45 → यह माध्यिका वर्ग है

👉 $L = 30$, $CF = 25$, $f = 20$, $h = 10$

अब,

$$\text{Median} = 30 + \left( \frac{27.5 - 25}{20} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{2.5}{20} \right) \times 10 = 30 + 1.25 = 31.25$$

✅ अतः माध्यिका = 31.25

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📝 MCQs – माध्यिका पर आधारित प्रश्न

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Q1. माध्यिका आँकड़ों के किस पक्ष को दर्शाती है?

A) अधिकतम मान
B) औसत मान
C) मध्य मान
D) न्यूनतम मान
✅ उत्तर: C) मध्य मान

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Q2. यदि कुल आँकड़ों की संख्या $n$ विषम है, तो माध्यिका का स्थान होगा:

A) $\frac{n}{2}$
B) $\frac{n+1}{2}$
C) $\frac{n-1}{2}$
D) $n$
✅ उत्तर: B) $\frac{n+1}{2}$

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Q3. वर्गीकृत आँकड़ों की माध्यिका निकालने में कौन-सा तत्व आवश्यक नहीं है?

A) संचयी बारंबारता
B) वर्ग सीमा
C) बारंबारता
D) माध्य
✅ उत्तर: D) माध्य

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Q4. निम्न में से कौन-सा कथन सही है?

A) माध्यिका, चरम मूल्यों से प्रभावित होती है।
B) माध्यिका हमेशा औसत के बराबर होती है।
C) माध्यिका केवल सम आँकड़ों पर निकाली जाती है।
D) माध्यिका चरम मानों से अप्रभावित होती है।
✅ उत्तर: D) माध्यिका चरम मानों से अप्रभावित होती है।

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Q5. यदि किसी वितरण की माध्यिका 50 है, तो इसका अर्थ है:

A) 50 सबसे बड़ी संख्या है
B) 50% आंकड़े इससे कम और 50% इससे अधिक हैं
C) सभी आंकड़े 50 हैं
D) कोई नहीं
✅ उत्तर: B) 50% आंकड़े इससे कम और 50% इससे अधिक हैं

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📚 निष्कर्ष

माध्यिका आँकड़ों के केंद्र की जानकारी देने वाला एक महत्वपूर्ण सांख्यिकीय उपाय है, विशेष रूप से तब जब डेटा में outliers (चरम मान) मौजूद हों। यह औसत से अधिक व्यावहारिक परिणाम देता है जब आँकड़े अत्यधिक असंतुलित हों।

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