🔢 बहुपद के गुणनखण्ड 

(Factorization of Polynomials) 

बहुपद के गुणनखण्ड (Factorization of Polynomials) गणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण विषय है, जो कक्षा 8 से लेकर प्रतियोगी परीक्षाओं तक उपयोगी होता है। बहुपद का गुणनखण्ड करने का मतलब उसे सरलतम गुणनाकार रूप में व्यक्त करना है, जिससे समीकरण हल करना या समीकरणों को सरल बनाना आसान हो जाता है।

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📝 बहुपद क्या है?

बहुपद (Polynomial) उस व्यंजक को कहते हैं जिसमें एक या अधिक चर और उनके गुणांक होते हैं, जैसे:

$$2x^2 + 3x + 5$$

यहाँ x एक चर (Variable) है, और यह बहुपद द्विघातीय (Quadratic) है क्योंकि इसमें सबसे बड़ी घात 2 है।

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📌 गुणनखण्ड के प्रमुख तरीके (Methods of Factorization)

✅ 1️⃣ सामान्य गुणन (Common Factor Method):

यदि हर पद में कोई सामान्य गुणक मौजूद है, तो उसे बाहर निकाल लिया जाता है।

जैसे:

$$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$$

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✅ 2️⃣ समूह बनाकर गुणनखण्ड (Grouping Method):

चार पदों वाले बहुपद में दो-दो पदों को समूह बनाकर सामान्य गुणक निकाला जाता है।

जैसे:

$$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x+1) + 1(x+1) = (x^2+1)(x+1)$$

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✅ 3️⃣ द्विघात बहुपद का गुणनखण्ड (Splitting the Middle Term):

द्विघातीय बहुपद 

$ax^2 + bx + c$

में मध्य पद को दो पदों में तोड़ा जाता है।

जैसे:

$$x^2 + 5x + 6$$

मध्य पद 5 को 2 और 3 में तोड़ते हैं, क्योंकि 2×3=6 और 2+3=5।

$$= x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$$

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✅ 4️⃣ पूर्ण वर्ग अंतर (Difference of Squares):

यदि बहुपद दो पूर्ण वर्गों के अंतर के रूप में हो:

$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$

जैसे:

$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$

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✅ 5️⃣ त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomials):

त्रिघात बहुपद के लिए सामान्य तौर पर कोई गुणनखण्ड निकालने की तकनीक विशेष होती है, जैसे गुणन का नियम या कारक प्रमेय (Factor Theorem)।

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🎯 5 महत्वपूर्ण MCQs (व्याख्या सहित)

1️⃣ प्रश्न:

$x^2 + 7x + 12$

का गुणनखण्ड क्या है?

A) (x+3)(x+4)

B) (x+2)(x+6)

C) (x+1)(x+12)

✅ सही उत्तर: A) (x+3)(x+4)

व्याख्या: 3×4=12 और 3+4=7

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2️⃣ प्रश्न:

$9x^2 - 16$

को गुणनखण्ड करो।

A) (3x+4)(3x-4)

B) (3x+2)(3x-8)

C) (9x+4)(x-4)

✅ सही उत्तर: A) (3x+4)(3x-4)

व्याख्या: यह पूर्ण वर्ग अंतर के रूप में है: (3x)^2-(4)^2

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3️⃣ प्रश्न:

$x^2 - 5x$

का सामान्य गुणन क्या है?

A) 5

B) x

C) x-5

✅ सही उत्तर: B) x

व्याख्या: दोनों पदों में x सामान्य गुणक है: x(x-5)

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4️⃣ प्रश्न:

$2x^2+7x+3$

का गुणनखण्ड क्या है?

A) (2x+1)(x+3)

B) (2x+3)(x+1)

C) (2x+2)(x+1.5)

✅ सही उत्तर: A) (2x+1)(x+3)

व्याख्या: 2×3=6 और 1×3=3 तथा 2×3+1=7

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5️⃣ प्रश्न:

$x^3+8$

का गुणनखण्ड क्या होगा?

A) (x+2)(x^2-2x+4)

B) (x-2)(x^2+2x+4)

C) (x+2)(x^2+2x+4)

✅ सही उत्तर: A) (x+2)(x^2-2x+4)

व्याख्या: यह घन योग के रूप में है: 

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

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🚀 निष्कर्ष

बहुपद के गुणनखण्ड का अभ्यास करने से बीजगणितीय प्रश्नों को हल करना सरल हो जाता है और गणित में महारत मिलती है। विभिन्न तरीकों का अभ्यास करें और छोटे-छोटे प्रश्नों से शुरुआत करके जटिल समस्याओं तक पहुँचें।

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