द्विघात समीकरण

📚 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) 

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) 

गणित में ऐसा समीकरण होता है जिसमें चर (variable) का अधिकतम घात 2 होता है। इसे सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जाता है:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

यहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ होना चाहिए।

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🔎 द्विघात समीकरण का सामान्य रूप

General Form:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

जहाँ

• $a$ = द्विघात पद का गुणांक (coefficient of $x^2$)

• $b$ = रैखिक पद का गुणांक (coefficient of $x$)

• $c$ = स्वतंत्र पद (constant term)

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✅ द्विघात समीकरण हल करने के तरीके

1️⃣ गुणनखण्ड विधि (Factorization Method)

समीकरण के गुणनखण्ड बनाकर दो रैखिक समीकरणों में विभाजित कर हल किया जाता है।

2️⃣ पूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square)

द्विघात समीकरण को परिपूर्ण वर्ग (Perfect Square) के रूप में परिवर्तित कर हल किया जाता है।

3️⃣ सामान्य सूत्र विधि (Quadratic Formula)

किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए यह सबसे विश्वसनीय तरीका है:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

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📖 उदाहरण

समीकरण:

$$2x^2 - 4x - 6=0$$

हल:
यहाँ $a=2, b=-4, c=-6$।
विवेकांक (Discriminant) निकालें:

$$D = b^2 -4ac = (-4)^2 -4(2)(-6) = 16 +48=64$$

सामान्य सूत्र से,

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 8}{4}$$

1. $x = \frac{4+8}{4}=\frac{12}{4}=3$

2. $x= \frac{4-8}{4}=\frac{-4}{4}=-1$

अंतिम उत्तर:

$$\boxed{x=3, x=-1}$$

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📝 द्विघात समीकरण के हल का विवेकांक (Discriminant)

विवेकांक $D = b^2-4ac$ हमें बताता है कि हल किस प्रकार के होंगे:

• अगर $D>0$: दो भिन्न वास्तविक हल

• अगर $D=0$: एक समान वास्तविक हल

• अगर $D<0$: कोई वास्तविक हल नहीं, बल्कि कल्पनिक हल

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📝 5 MCQs (व्याख्या सहित)

1️⃣ प्रश्न: द्विघात समीकरण का अधिकतम घात क्या होता है?

A) 1
B) 2
C) 3
✅ सही उत्तर: B) 2
व्याख्या: द्विघात का अर्थ ही अधिकतम घात 2 होना है।

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2️⃣ प्रश्न: $x^2-5x+6=0$ का हल क्या होगा?

A) x=2, x=3
B) x=1, x=6
C) x=-2, x=-3
✅ सही उत्तर: A) x=2, x=3
व्याख्या: गुणनखण्ड बनाकर (x-2)(x-3)=0 से हल मिलेगा।

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3️⃣ प्रश्न: यदि विवेकांक शून्य हो, तो द्विघात समीकरण के हल कैसे होंगे?

A) दो भिन्न वास्तविक हल
B) दो समान वास्तविक हल
C) कोई वास्तविक हल नहीं
✅ सही उत्तर: B) दो समान वास्तविक हल
व्याख्या: D=0 होने पर हल एक जैसे होते हैं।

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4️⃣ प्रश्न: समीकरण $x^2+4x+5=0$ के लिए विवेकांक क्या होगा?

A) 4
B) -4
C) 16-20=-4
✅ सही उत्तर: C) -4
व्याख्या: यहाँ $D=b^2-4ac=16-20=-4$।

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5️⃣ प्रश्न: द्विघात समीकरण का सामान्य हल निकालने का सूत्र क्या कहलाता है?

A) पाइथागोरस सूत्र
B) द्विघात सूत्र
C) एरिथमेटिक सूत्र
✅ सही उत्तर: B) द्विघात सूत्र
व्याख्या: सामान्य हल के लिए quadratic formula का उपयोग होता है।

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