समुच्चय (Set)

📚 समुच्चय (Set) – हिंदी में विस्तृत जानकारी

समुच्चय (Set) गणित में वस्तुओं का एक सुव्यवस्थित समूह होता है, जिन वस्तुओं को हम समुच्चय में शामिल करते हैं, उन्हें तत्व (Elements) कहा जाता है। समुच्चय को आम तौर पर अंग्रेजी के बड़े अक्षरों जैसे A, B, C… आदि से प्रदर्शित किया जाता है और इसके तत्वों को छोटे अक्षरों से लिखा जाता है।

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🔎 समुच्चय की परिभाषा

समुच्चय समान प्रकार की वस्तुओं का ऐसा संग्रह है, जिसे स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है।
उदा: A = {1, 2, 3, 4, 5}।

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✅ समुच्चय को व्यक्त करने के तरीके

1️⃣ वर्णनात्मक विधि (Description Method)

तत्वों का वर्णन करके समुच्चय लिखा जाता है।
उदा: A = {1 से 5 तक के प्राकृतिक संख्याएँ}।

2️⃣ पद्धति विधि या निर्माण विधि (Set-builder Method)

इसमें समुच्चय के तत्वों के लिए शर्त लिखी जाती है।
उदा: A = {x | x एक प्राकृतिक संख्या है और x ≤ 5}।

3️⃣ सूची विधि (Roster Method)

तत्वों को कर्ली ब्रेकेट में सीधे लिखा जाता है।
उदा: A = {1, 2, 3, 4, 5}।

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✅ समुच्चय के प्रकार

1️⃣ शून्य समुच्चय (Null/Empty Set)

जिसमें कोई भी तत्व नहीं होता।
उदा: ∅ = {}।

2️⃣ एकवर्ती समुच्चय (Singleton Set)

जिसमें केवल एक तत्व होता है।
उदा: A={0}।

3️⃣ समाप्त समुच्चय (Finite Set)

जिसमें गिनती योग्य सीमित तत्व होते हैं।
उदा: B={a, e, i, o, u}।

4️⃣ असमाप्त समुच्चय (Infinite Set)

जिसके तत्वों की कोई सीमा नहीं होती।
उदा: प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N={1,2,3,…}।

5️⃣ समान समुच्चय (Equal Sets)

यदि दो समुच्चयों के सभी तत्व समान हों।
उदा: A={1,2,3}, B={3,1,2} ⇒ A=B।

6️⃣ असम समान समुच्चय (Unequal Sets)

दो समुच्चयों में तत्व समान न हों।
उदा: A={1,2}, B={2,3}।

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✅ समुच्चय के चिन्ह और संक्रियाएँ

• सदस्यता: यदि a, A का सदस्य है → a ∈ A

• समुच्चयता: यदि A, B का उपसमुच्चय है → A ⊆ B

• संघ (Union): A ∪ B = A और B के सभी तत्वों का समूह

• छेदन (Intersection): A ∩ B = A और B के सामान्य तत्वों का समूह

• वियोजन (Difference): A - B = A के वे तत्व जो B में नहीं हैं

• संपूरक (Complement): A’ = यूनिवर्सल सेट में वे तत्व जो A में नहीं हैं

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📖 उदाहरण

मान लीजिए,
A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}

• A∪B={1,2,3,4,5,6}

• A∩B={3,4}

• A-B={1,2}

• B-A={5,6}

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📝 5 MCQs (व्याख्या सहित)

1️⃣ प्रश्न: शून्य समुच्चय को कैसे दर्शाते हैं?

A) {}
B) ()
C) []
✅ सही उत्तर: A) {}
व्याख्या: खाली समुच्चय को कर्ली ब्रेकेट में खाली लिखकर दर्शाया जाता है।

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2️⃣ प्रश्न: N={1,2,3,4,…} किस प्रकार का समुच्चय है?

A) समाप्त
B) असमाप्त
C) शून्य
✅ सही उत्तर: B) असमाप्त
व्याख्या: इसमें तत्वों की कोई सीमा नहीं होती।

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3️⃣ प्रश्न: यदि A={1,2}, B={2,3}, A∩B क्या होगा?

A) {1,3}
B) {2}
C) {1,2,3}
✅ सही उत्तर: B) {2}
व्याख्या: छेदन में सिर्फ समान तत्व आते हैं।

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4️⃣ प्रश्न: यदि A={1,2,3}, B={1,2,3}, तो A और B कैसे हैं?

A) समान
B) असमान
C) उपसमुच्चय
✅ सही उत्तर: A) समान
व्याख्या: दोनों के सभी तत्व समान हैं।

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5️⃣ प्रश्न: A={a,e,i,o,u} का संघ B={a,b,c} क्या होगा?

A) {a,e,i,o,u,b,c}
B) {a,b,c}
C) {e,i,o,u}
✅ सही उत्तर: A) {a,e,i,o,u,b,c}
व्याख्या: संघ में दोनों समुच्चयों के सभी तत्व शामिल होते हैं।

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