सरल युगपत समीकरण

📚 सरल युगपत समीकरण 

(Simultaneous Linear Equations) 

सरल युगपत समीकरण (Simultaneous Linear Equations) ऐसे दो या दो से अधिक रैखिक समीकरण होते हैं जिन्हें एक साथ हल किया जाता है ताकि सभी समीकरणों के लिए एक ही मान (Values) मिल सकें। ये गणित में बहुत महत्वपूर्ण होते हैं और प्रतियोगी परीक्षाओं से लेकर कक्षा 6-12 तक के सिलेबस में शामिल रहते हैं।


📝 सरल युगपत समीकरण क्या होते हैं?

दो चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को युगपत समीकरण कहा जाता है।
उदाहरण:

2x+3y=12xy=12x + 3y = 12 \\ x - y = 1

इन दोनों समीकरणों के लिए x और y के एक ही मान होंगे जो दोनों को संतुष्ट करेंगे।


🔎 युगपत समीकरण हल करने के प्रमुख तरीके

1️⃣ प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

एक समीकरण से किसी एक चर का मान निकालकर उसे दूसरे समीकरण में रखते हैं।

2️⃣ विलोपन विधि (Elimination Method)

दोनों समीकरणों में गुणा या जोड़-घटाकर किसी एक चर को समाप्त कर बाकी चर का मान निकाला जाता है।

3️⃣ प्रतिलोम गुणांक विधि (Cross Multiplication Method)

दोनों समीकरणों को एक विशेष फार्मेट में लिखकर क्रॉस मल्टिप्लाई करते हुए हल किया जाता है (विशेषकर प्रतियोगी परीक्षा में उपयोगी)।


📖 उदाहरण

समीकरण:

3x+4y=102xy=33x + 4y = 10 \\ 2x - y = 3

विलोपन विधि से हल:

1️⃣ दूसरे समीकरण को 4 से गुणा करें ताकि y का गुणांक बराबर बने:

8x4y=128x - 4y = 12

2️⃣ पहले समीकरण और इस समीकरण को जोड़ें:

3x+4y+8x4y=10+1211x=22x=23x + 4y + 8x - 4y = 10 + 12 \\ 11x = 22 \Rightarrow x = 2

3️⃣ x=2 को किसी भी समीकरण में रखें:

2(2)y=34y=3y=12(2) - y = 3 \Rightarrow 4 - y = 3 \Rightarrow y=1

अंतिम उत्तर:

x=2,y=1\boxed{x=2, y=1}

📌 याद रखने योग्य बातें

✔️ दोनों समीकरणों को ध्यान से पढ़ें और सरलतम रूप में लिखें।
✔️ किसी एक चर को समाप्त करने के लिए गुणन/जोड़-घटाव का सही तरीका चुनें।
✔️ उत्तर मिलने के बाद उसे दोनों समीकरणों में जाँच लें।


📝 5 MCQs (व्याख्या सहित)

1️⃣ प्रश्न: युगपत समीकरण में कितने हल संभव होते हैं?

A) एक
B) शून्य
C) अनंत
D) उपरोक्त सभी
सही उत्तर: D) उपरोक्त सभी
व्याख्या: दो रैखिक समीकरण या तो एक हल देंगे (समानांतर नहीं हैं), कोई हल नहीं देंगे (समानांतर हैं), या अनंत हल देंगे (समान रेखाएँ)।


2️⃣ प्रश्न: समीकरण x+y=6x + y=6 और 2x+2y=122x + 2y=12 का हल क्या होगा?


A) कोई हल नहीं
B) अनंत हल
C) एक अद्वितीय हल
सही उत्तर: B) अनंत हल
व्याख्या: दूसरा समीकरण पहले का गुणक है, इसलिए दोनों रेखाएँ एक ही हैं।


3️⃣ प्रश्न: प्रतिस्थापन विधि में पहला कदम क्या होता है?

A) दोनों समीकरणों को जोड़ना
B) किसी एक चर का मान निकालना
C) क्रॉस मल्टिप्लाई करना
सही उत्तर: B) किसी एक चर का मान निकालना
व्याख्या: प्रतिस्थापन में सबसे पहले एक चर को दूसरे की शर्त में लिखते हैं।


4️⃣ प्रश्न: समीकरण 2x+y=72x + y=7 और 4x+2y=144x + 2y=14 किस प्रकार हैं?


A) संगत और स्वतंत्र
B) असंगत
C) संगत और निर्भर
सही उत्तर: C) संगत और निर्भर
व्याख्या: दूसरा समीकरण पहले का दुगना है, इसलिए अनंत हल हैं।


5️⃣ प्रश्न: विलोपन विधि में मुख्य विचार क्या है?

A) किसी चर को समाप्त करना
B) दोनों समीकरणों में क्रॉस मल्टिप्लाई करना
C) उत्तर अनुमान करना
सही उत्तर: A) किसी चर को समाप्त करना
व्याख्या: विलोपन विधि में जोड़-घटाव से एक चर मिटाया जाता है।



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