📚 उपसमुच्चय (Subsets)
उपसमुच्चय (Subset)
गणित में एक ऐसा समुच्चय होता है, जिसके सभी तत्व किसी अन्य समुच्चय के तत्वों में मौजूद होते हैं। यदि A और B दो समुच्चय हैं, और A का प्रत्येक तत्व B में भी मौजूद है, तो हम कहते हैं कि A, B का उपसमुच्चय है, और इसे A ⊆ B द्वारा लिखा जाता है।
✅ उपसमुच्चय की परिभाषा
यदि A और B दो समुच्चय हैं और A के प्रत्येक तत्व B में भी हो, तो A को B का उपसमुच्चय कहा जाता है।
उदा: A={1,2}, B={1,2,3,4}
यहाँ A के सभी तत्व B में मौजूद हैं, अतः A ⊆ B।
🔎 उपसमुच्चय के प्रकार
1️⃣ सही उपसमुच्चय (Proper Subset)
यदि A ⊆ B और A ≠ B हो, तो A को B का सही उपसमुच्चय कहते हैं।उदा: A={1,2}, B={1,2,3} ⇒ A⊂B।
2️⃣ स्वयं उपसमुच्चय (Improper Subset)
समुच्चय स्वयं और शून्य समुच्चय को उसका स्वयं उपसमुच्चय कहा जाता है।उदा: A={1,2}, इसके उपसमुच्चय {} और A स्वयं।
✅ उपसमुच्चयों की संख्या
यदि किसी समुच्चय में n तत्व हैं, तो उसके कुल उपसमुच्चयों की संख्या 2^n होती है।
उदा: यदि A={1,2}, यहाँ n=2, तो कुल उपसमुच्चय 2²=4 होंगे, जो ये हैं:
{}, {1}, {2}, {1,2}।
🔎 उपसमुच्चय को दर्शाने का प्रतीक
-
A ⊆ B ⇒ A, B का उपसमुच्चय है।
-
A ⊂ B ⇒ A, B का सही उपसमुच्चय है।
-
यदि A ⊈ B ⇒ A, B का उपसमुच्चय नहीं है।
✅ उदाहरण
मान लीजिए B={a,b}
तो इसके उपसमुच्चय होंगे:
- {} (शून्य समु च्चय)
- {a}
- {b}
- {a,b}
📝 5 MCQs (व्याख्या सहित)
1️⃣ प्रश्न: यदि A={1,2,3}, तो इसके उपसमुच्चयों की कुल संख्या कितनी होगी?
A) 6
B) 8
C) 9
✅ सही उत्तर: B) 8
व्याख्या: 2³=8 उपसमुच्चय बनेंगे।
2️⃣ प्रश्न: शून्य समुच्चय किसका उपसमुच्चय है?
A) किसी का नहीं
B) प्रत्येक समुच्चय का
C) केवल समान समुच्चय का
✅ सही उत्तर: B) प्रत्येक समुच्चय का
व्याख्या: शून्य समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
3️⃣ प्रश्न: यदि A={1,2} और B={1,2,3}, तो A⊆B?
A) हाँ
B) नहीं
✅ सही उत्तर: A) हाँ
व्याख्या: A के सभी तत्व B में मौजूद हैं।
4️⃣ प्रश्न: यदि समुच्चय में 4 तत्व हैं, तो उसके कुल उपसमुच्चय होंगे?
A) 16
B) 8
C) 12
✅ सही उत्तर: A) 16
व्याख्या: 2⁴=16 उपसमुच्चय बनेंगे।
5️⃣ प्रश्न: यदि A={a,b,c}, तो इनमें से कौन-सा इसका सही उपसमुच्चय है?
A) A स्वयं
B) {a,b,c}
C) {a,b}
✅ सही उत्तर: C) {a,b}
व्याख्या: सही उपसमुच्चय में समुच्चय के सभी तत्व नहीं होते।
.png)
0 टिप्पणियाँ