📚 समुच्चय सममित अंतर
(Symmetric Difference of Sets)
परिचय ( Introduction)
समुच्चय सिमित अंतर (Symmetric Difference of Sets) दो समुच्चयों के उन तत्वों का समूह होता है जो केवल किसी एक समुच्चय में होते हैं, दोनों में नहीं। यानी इसमें उन तत्वों को लिया जाता है जो या तो A में हैं या B में, पर दोनों में नहीं हैं। इसे प्रतीकात्मक रूप में A Δ B या A ⊕ B लिखा जाता है।
✅ समुच्चय सिमित अंतर की परिभाषा
यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो
A Δ B = (A - B) ∪ (B - A)
अर्थात A और B के उन तत्वों का संघ जो दोनों में सामान्य नहीं हैं।
🔎 उदाहरण
उदा 1:
A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5}
A - B = {1, 2}
B - A = {4, 5}
A Δ B = {1, 2, 4, 5}
(3 दोनों में है, इसलिए वह शामिल नहीं होता।)
उदा 2:
A = {a, b, c}B = {b, c, d, e}
A - B = {a}
B - A = {d, e}
A Δ B = {a, d, e}
✅ सिमित अंतर के गुण
✔ A Δ B = B Δ A (सिमित अंतर क्रमानुगत है)
✔ A Δ φ = A (किसी समुच्चय का शून्य समुच्चय के साथ सिमित अंतर वही समुच्चय होता है)
✔ A Δ A = φ (किसी समुच्चय का स्वयं से सिमित अंतर शून्य समुच्चय होता है)
✅ वेन आरेख (Venn Diagram) द्वारा समझना
वेन आरेख में A और B के दोनों वृत्तों के केवल ऐसे हिस्से जो ओवरलैप में नहीं आते – वही A Δ B को दर्शाते हैं। ओवरलैप का क्षेत्र छोड़कर दोनों वृत्तों के शेष हिस्से मिलाकर सिमित अंतर बनता है।
📝 5 MCQs (व्याख्या सहित)
1️⃣ प्रश्न: यदि A={1,2,3}, B={3,4}, तो AΔB क्या होगा?
A) {1,2,3,4}B) {1,2,4}
C) {3}
✅ सही उत्तर: B) {1,2,4}
व्याख्या: 3 दोनों में है, इसे छोड़कर बाकी {1,2,4} शामिल होते हैं।
2️⃣ प्रश्न: AΔB किसके बराबर होता है?
A) (A∪B)B) (A∩B)
C) (A-B)∪(B-A)
✅ सही उत्तर: C) (A-B)∪(B-A)
व्याख्या: सिमित अंतर की यही परिभाषा होती है।
3️⃣ प्रश्न: A=φ, B={1,2}, तो AΔB क्या होगा?
A) {1,2}B) φ
C) {0}
✅ सही उत्तर: A) {1,2}
व्याख्या: शून्य समुच्चय के साथ सिमित अंतर में दूसरा समुच्चय ही उत्तर होता है।
4️⃣ प्रश्न: यदि A={1,2}, B={1,2}, तो AΔB क्या होगा?
A) {1,2}B) φ
C) {0,1,2}
✅ सही उत्तर: B) φ
व्याख्या: दोनों एक जैसे होने पर सिमित अंतर शून्य समुच्चय होता है।
5️⃣ प्रश्न: AΔφ किसके बराबर होता है?
A) AB) φ
C) A∩φ
✅ सही उत्तर: A) A
व्याख्या: शून्य समुच्चय के साथ सिमित अंतर में मूल समुच्चय ही उत्तर होता है।
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