त्रिभुज

📚 त्रिभुज (Triangle) 

त्रिभुज (Triangle) ज्यामिति (Geometry) का एक मौलिक और अत्यंत महत्वपूर्ण आकार है। यह तीन रेखाओं से घिरा हुआ एक बंद बहुभुज होता है, जिसके तीन शीर्ष (vertices), तीन भुजाएँ (sides) और तीन कोण (angles) होते हैं। त्रिभुज न सिर्फ गणित के लिए, बल्कि वास्तुशिल्प, इंजीनियरिंग और दैनिक जीवन के कई कार्यों में भी अत्यंत उपयोगी है। यहाँ हम त्रिभुज के प्रकार, उनके गुणधर्म, प्रमुख प्रमेय और बहुविकल्पीय प्रश्नों (MCQs) के साथ इसकी सम्पूर्ण जानकारी प्रस्तुत कर रहे हैं।

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✅ त्रिभुज की परिभाषा

त्रिभुज वह आकृति है जो तीन बिंदुओं को मिलाकर तीन रेखाओं द्वारा बनाई जाती है। इसे ΔA, ΔB, ΔC जैसे नाम दिए जाते हैं। इसका आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है।

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📌 त्रिभुज के प्रकार

त्रिभुज को भुजाओं के आधार पर और कोणों के आधार पर दो तरह से वर्गीकृत किया जाता है:

1️⃣ भुजाओं के आधार पर:

• समभुज त्रिभुज (Equilateral Triangle): तीनों भुजाएँ समान होती हैं और प्रत्येक कोण 60° का होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle): दो भुजाएँ समान होती हैं, और समान भुजाओं के सम्मुख कोण भी समान होते हैं।
• विषमभुज त्रिभुज (Scalene Triangle): तीनों भुजाएँ और कोण अलग-अलग होते हैं।

2️⃣ कोणों के आधार पर:

• समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle): एक कोण 90° होता है।

• मूर्धकोण त्रिभुज (Obtuse-angled Triangle): एक कोण 90° से अधिक होता है।

• तीक्ष्णकोण त्रिभुज (Acute-angled Triangle): तीनों कोण 90° से छोटे होते हैं।

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📌 त्रिभुज के महत्वपूर्ण सूत्र

🔹 क्षेत्रफल (Area)

• समकोण त्रिभुज के लिए:

  $$क्षेत्रफल = \frac{1}{2} \times आधार \times ऊँचाई$$

• हेरॉन का सूत्र (Heron’s Formula): यदि त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हैं और अर्धपरिमाप 
  $s = \frac{a + b + c}{2}$
  हो, तो
  $$क्षेत्रफल = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

🔹 त्रिभुज का परिमाप (Perimeter)

$$परिमाप = a + b + c$$

🔹 पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) – समकोण त्रिभुज के लिए:

$$कर्ण^2 = आधार^2 + ऊँचाई^2$$

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📝 MCQ (बहुविकल्पीय प्रश्न) त्रिभुज पर

प्रश्न 1. किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योगफल कितना होता है?

A) 90°

B) 180°

C) 270°

D) 360°

उत्तर: B) 180°

प्रश्न 2. तीनों भुजाएँ समान होने पर त्रिभुज का प्रकार क्या होगा?

A) समद्विबाहु

B) विषमभुज

C) समभुज

D) समकोण

उत्तर: C) समभुज

प्रश्न 3. पाइथागोरस प्रमेय किस त्रिभुज पर लागू होती है?

A) समकोण त्रिभुज

B) समभुज त्रिभुज

C) समद्विबाहु त्रिभुज

D) मूर्धकोण त्रिभुज

उत्तर: A) समकोण त्रिभुज

प्रश्न 4. त्रिभुज के परिमाप का सूत्र क्या है?

A) 

$\frac{a+b+c}{2}$

B) 

$a \times b \times c$

C) 

$a + b + c$

D) 

$a^2 + b^2 + c^2$

उत्तर: C) 

$a + b + c$

प्रश्न 5. समद्विबाहु त्रिभुज में कितनी भुजाएँ समान होती हैं?

A) 1

B) 2

C) 3

D) कोई नहीं

उत्तर: B) 2

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🔎 निष्कर्ष (Conclusion)

त्रिभुज ज्यामिति का सबसे महत्वपूर्ण और बुनियादी आकार है, जिससे कई प्रमेय, गणना और वास्तुशिल्पीय संरचनाएँ जुड़ी हैं। इसकी अवधारणा का गहरा ज्ञान प्रतियोगी परीक्षाओं, इंजीनियरिंग और उच्च गणितीय समस्याओं को हल करने में अत्यंत सहायक होता है।

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