काम तथा समय

⏱️ काम तथा समय (Time and Work)

काम तथा समय (Time and Work) गणित का एक महत्वपूर्ण विषय है, जो प्रतियोगी परीक्षाओं में अक्सर पूछा जाता है। इसमें यह पता लगाया जाता है कि कोई व्यक्ति या समूह किसी काम को कितने समय में पूरा करेगा या कितने लोग मिलकर कितने समय में कोई काम कर पाएंगे।

📌 मूल अवधारणा

✅ कार्य क्षमता (Efficiency)

यदि कोई व्यक्ति A दिन में कोई कार्य समाप्त करता है, तो एक दिन में उसकी कार्य क्षमता = 1/A होगी।

✅ समय (Time)

यदि दो व्यक्ति मिलकर किसी कार्य को T दिन में समाप्त करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्य क्षमता = 1/T होगी।

✅ कार्य के नियम

  • कार्य क्षमता और समय में प्रतिलोम (inverse) संबंध होता है।

  • ज्यादा कार्य क्षमता = कम समय में कार्य पूर्ण होगा।

📌 प्रमुख सूत्र

1️⃣ व्यक्ति A द्वारा कार्य को X दिनों में करने की कार्य क्षमता:

 A की क्षमता=1X\text{Efficiency of A} = \frac{1}{X}

2️⃣ यदि A और B मिलकर काम को T दिनों में पूरा करते हैं:

संयुक्त क्षमता=1T\text{Joint Efficiency} = \frac{1}{T}

3️⃣ एकसाथ शुरू हुए और बाद में छोड़े गए कार्यों में:

कुल कार्य=शुरुआती दिनों का काम+बाकी दिनों का काम\text{कुल कार्य} = \text{शुरुआती दिनों का काम} + \text{बाकी दिनों का काम}

📚 उदाहरण

उदाहरण 1:

A अकेले 10 दिन में काम करता है, B अकेले 15 दिन में करता है। दोनों मिलकर कितने दिन में काम करेंगे?

A की कार्य क्षमता = 1/10
B की कार्य क्षमता = 1/15
दोनों की संयुक्त कार्य क्षमता = 1/10 + 1/15 = (3+2)/30 = 5/30 = 1/6

समय = 6 दिन

उदाहरण 2:

A किसी काम को 12 दिन में करता है। 4 दिन काम करने के बाद, B जुड़ता है और दोनों मिलकर 4 दिन में काम खत्म करते हैं। B अकेले कितने दिन में काम करेगा?

4 दिन में A का कार्य = 4×1/12=1/3
बचा काम = 1-1/3=2/3
A+B की संयुक्त क्षमता ×4=2/3
A+B की क्षमता= (2/3)/4=1/6
A की क्षमता=1/12
B की क्षमता=1/6-1/12=1/12
B अकेले समय=1/(1/12)=12 दिन

🎯 5 महत्वपूर्ण MCQs (व्याख्या सहित)

1️⃣ प्रश्न:

A अकेले 8 दिन में, B अकेले 12 दिन में काम करता है। मिलकर कितने दिन में खत्म होगा?
A) 4.8
B) 4.5
C) 5
✅ सही उत्तर: B) 4.8 दिन

व्याख्या:
A=1/8, B=1/12, संयुक्त क्षमता= (3+2)/24=5/24
समय=24/5=4.8 दिन

2️⃣ प्रश्न:

C अकेले 18 दिन में काम करता है, D अकेले 9 दिन में। मिलकर कितने दिन लगेंगे?
A) 6
B) 4.5
C) 3
✅ सही उत्तर: C) 6 दिन

व्याख्या:
C=1/18, D=1/9=2/18, संयुक्त=3/18=1/6
समय=6 दिन

3️⃣ प्रश्न:

E और F मिलकर 5 दिन में काम पूरा करते हैं। यदि E अकेले 15 दिन में करता है, F अकेले कितने दिन में करेगा?
A) 7.5
B) 10
C) 15
✅ सही उत्तर: B) 10 दिन

व्याख्या:
E=1/15, E+F=1/5, F=1/5-1/15=2/15
F का समय=15/2=7.5

4️⃣ प्रश्न:

A काम को 16 दिन में करता है, B अकेले 8 दिन में। B 2 दिन के बाद छोड़ देता है, बाकी A पूरा करता है। कुल समय?
A) 10
B) 12
C) 14
✅ सही उत्तर: A) 10 दिन

व्याख्या:
B का 2 दिन का काम=2×1/8=1/4
बचा=3/4
A=1/16→(3/4)/(1/16)=12 दिन
कुल=12+2=14

5️⃣ प्रश्न:

G और H मिलकर 4 दिन में काम करते हैं। H अकेले 6 दिन में करता है। G अकेले कितने दिन में करेगा?
A) 12
B) 8
C) 6
✅ सही उत्तर: A) 12 दिन

व्याख्या:
H=1/6, G+H=1/4, G=1/4-1/6=1/12
G का समय=12 दिन

🚀 निष्कर्ष

काम तथा समय (Time and Work) के प्रश्नों का सही अभ्यास गणित के सेक्शन में स्कोर बढ़ाने का सबसे अच्छा तरीका है। सही फार्मूला और समझ से आप जटिल सवाल भी आसानी से हल कर सकते हैं।


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