वृत्त

📚 वृत्त (Circle) 

वृत्त (Circle) गणित की सबसे महत्वपूर्ण और बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों में से एक है। यह सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जो एक निश्चित बिंदु (केन्द्र) से समान दूरी पर होते हैं। यह आकृति न केवल ज्यामिति में, बल्कि भौतिकी, इंजीनियरिंग, वास्तुकला और रोजमर्रा की चीज़ों में भी व्यापक रूप से देखने को मिलती है।

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✅ वृत्त की परिभाषा

एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय को वृत्त कहते हैं।
केंद्र (Center) – वृत्त का वह बिंदु, जहाँ से सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं।
त्रिज्या (Radius) – केंद्र से वृत्त की परिधि तक की दूरी।
व्यास (Diameter) – वृत्त के परिधि के दो विपरीत बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा, जो केंद्र से होकर गुजरती है। व्यास = 2 × त्रिज्या।
परिधि (Circumference) – वृत्त की बाहरी सीमा की लंबाई।
क्षेत्रफल (Area) – वृत्त द्वारा घेरे गए क्षेत्र का मापन।

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📌 वृत्त के सूत्र

🔹 व्यास का सूत्र:

$$D = 2r$$

🔹 परिधि का सूत्र:

$$C = 2\pi r \text{ या } \pi D$$

🔹 क्षेत्रफल का सूत्र:

$$A = \pi r^2$$

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📌 वृत्त के गुणधर्म (Properties)

✔ वृत्त में सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं।
✔ वृत्त में असीमित अक्षांश रेखाएँ (chords) खींची जा सकती हैं।
✔ सबसे बड़ी अक्षांश रेखा व्यास होती है।
✔ वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल केवल त्रिज्या पर निर्भर करता है।

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📌 वृत्त का वास्तविक जीवन में उपयोग

• पहिए, प्लेट, घड़ियाँ, सिक्के आदि में।

• इंजीनियरिंग और आर्किटेक्चर में गोल संरचनाएँ बनाने में।

• गणितीय समस्याओं में।

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📝 MCQ (बहुविकल्पीय प्रश्न) वृत्त पर

प्रश्न 1. वृत्त के केंद्र से वृत्त के बिंदु तक की दूरी को क्या कहते हैं?

A) व्यास
B) त्रिज्या
C) परिधि
D) क्षेत्रफल
उत्तर: B) त्रिज्या

प्रश्न 2. वृत्त की परिधि का सूत्र क्या है?

A) $\pi r^2$
B) $2\pi r$
C) $4\pi r$
D) $r^2$
उत्तर: B) $2\pi r$

प्रश्न 3. 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा? (

$\pi=22/7$)
A) 154 cm²
B) 100 cm²
C) 120 cm²
D) 200 cm²
उत्तर: A) 154 cm²
व्याख्या:
क्षेत्रफल = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154$ cm²

प्रश्न 4. यदि वृत्त का व्यास 14 सेमी है, तो उसकी परिधि क्या होगी? (

$\pi=22/7$)
A) 44 cm
B) 22 cm
C) 33 cm
D) 28 cm
उत्तर: A) 44 cm
व्याख्या:
परिधि = $\pi D = \frac{22}{7} \times 14 = 44$ cm

प्रश्न 5. वृत्त का सबसे लंबा अक्षांश कौन होता है?

A) त्रिज्या
B) परिधि
C) व्यास
D) क्षेत्रफल
उत्तर: C) व्यास

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🔎 निष्कर्ष (Conclusion)

वृत्त की परिभाषा, उसके गुण और सूत्र गणितीय समस्याओं को सुलझाने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। इसकी सहायता से हम परिधि, क्षेत्रफल और व्यास/त्रिज्या से संबंधित सवाल आसानी से हल कर सकते हैं।

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